Si tratta di una
meraviglia della topologia scoperta dal matematico e astronomo teorico August
Ferdinand Möbius (o Moebius, 1790-1868) e pertanto legata al suo nome, anche se
pare che nello stesso periodo, ma indipendentemente, anche da un altro
matematico tedesco, Listing ne studiò le caratterstice.
Il Nastro di
Moebius è un oggetto piano che ha però una sola faccia (superficie), come dire
un comune foglio di carta che ha un solo lato, senza verso.
Sembra assurdo
eppure è così. Provate voi stessi. Procuratevi una striscia di carta o di
stoffa, meglio se con le due facce di colori diversi (per esempio una carta da
regalo o semplicemente un foglio stampato solo da una lato) e qualcosa per
fissarne le estremità: colla, nastro adesivo o spillatrice. Avvicinate le due
estremità formando un cerchio ma, prima di unirle, torcetene una di 180°, vale
a dire, nel caso di carta con colori diversi, fate combaciare un'estremità stampata
con una bianca. La striscia di Moebius è pronta.
Per avere una chiara dimostrazione della precedente affermazione
("ha una sola faccia") tracciate una linea parallela ai margini, a
partire da un qualunque punto. Continuando a disegnarla vi accorgete che,
completato un intero giro, passerete nello stesso punto da dove avete iniziato
a tracciare la linea, ma dal lato (apparentemente) opposto. Proseguendo arriverete finalmente al
punto di partenza (alla fine del secondo giro) e potrete notare che con questa
sola linea continua (non avete mai staccato la penna dal foglio) avete percorso
tutto il nastro da entrambe i lati che, in effetti, è solo uno.
Lo stesso vale per
il bordo: anche se sembra che il nastro abbia due bordi, se iniziate a scorrere
il dito lungo uno di essi, dopo un giro tornerete "quasi" al punto di partenza, in quanto vi troverete sul
margine (apparentemente) opposto e solo dopo il secondo sarete effettivamente al punto
di partenza. Tutto ciò senza aver mai staccato il dito dal margine e così è facilmente dimostrato in modo pratico che oltre ad avere una sola faccia, il Nastro
di Moebius ha anche un solo bordo.
Ma le meraviglie
non si limitano a questo. Provate a tagliare il Nastro longitudinalmente al
centro. Vi renderete conto che non otterrete due anelli, ma uno solo di doppia
lunghezza e con doppia torsione. Quindi questo
Nastro (come tutti quelli con un numero pari di torsioni) non ha le stesse
proprietà di quello di Moebius e ha due facce e due bordi. Tagliandolo
ancora a metà si otterranno due anelli concatenati, entrambe con torsione pari,
quindi non Nastri di Moebius.
E non finisce qui …
provate ora a tagliarne uno a circa un terzo della sua larghezza. Quando con le
forbici ritornerete al punto nel quale avete iniziato (al termine del secondo
giro) vi ritroverete con due nastri diversi concatenati. Uno di lunghezza
doppia dell’originale che, come nel caso precedente del taglio a metà, presenta
una doppia torsione e quindi non è un anello di Moebius, mentre l’altro (delle
dimensioni originali) è ancora un nastro di Moebius essendo in effetti
costituito dal terzo centrale di quello originale.
Un oggetto con tali
caratteristiche e con forme così eleganti e flessuose non poteva non affascinare
vari artisti ed è pertanto stato rappresentato in più occasioni sia in piano
(tele, incisioni, …) che in tre dimensioni. L'opera più famosa è senz'altro quella
di Maurits Cornelis Escher che nel 1963 produsse questo disegno “animandolo”
con una teoria di formiche.
In rete ne ho trovato
anche un altro paio molto interessanti, a soggetto ... automobilistico.
La
prima è stata prodotta al computer, la seconda è tridimensionale.
Come è facile notare, in tutte queste opere il
Nastro appare molto simile al simbolo matematico ∞ (infinito) ma è solo un caso in quanto questo fu
codificato nel 1600, molto prima che Moebius ne studiasse le caratteristiche
dal punto di vista matematico.
Come simbolo è
sempre stato associato al tempo e all'eternità e qualcuno vede la Striscia di
Moebius in questo mosaico del III sec. d.C. rappresentante Aion,
personificazione del Tempo, all'interno di una sfera celeste.
Se questo mosaico vi piace e vi interessa, al seguente link potete scaricare l'immagine ad alta definizione 2120 × 1938 pixels (2.96 MB) della sua parte centrale
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