Soluzioni ottavo, nono e decimo ponte di Königsberg

Per facilitare le successive spiegazioni, la città  di Königsberg è stata ridotta a un grafo con i nodi colorati (a sinistra, già pubblicato nel precedente post).  Con il bianco è stata indicata la penisola sulla quale dimora il Vescovo e si erge la sua chiesa, i due castelli sulle sponde opposte hanno i colori dei rispettivi principi e, infine, il nodo arancione rappresenta l'isola con l'ormai famosa osteria.

L'ottavo ponte del Principe Blu 
Avendo in partenza 4 nodi di grado dispari, un qualunque ottavo spigolo (ponte) varierà il grado di due di essi creando un grafo con  due nodi pari e due dispari. Sappiamo che in tale situazione è possibile avere un percorso eulriano iniziando da uno dei due nodi dispari (nel nostro caso deve essere il castello el principe blu)  terminando all'altro (l'osteria). Ne consegue, logicamente, che i nodi da far diventare di grado pari sono quello dell'altro castello e del Vescovado e quindi costruire un ponte che li unisca. (disegno in basso a sinistra)

   

Il nono ponte del Principe Rosso 
Un ragionamento simile ci farà risolvere anche il problema del nono spigolo. Il nodo del principe blu dovrà ridiventare dispari e quello del rosso pari, lasciando invariato il grado degli altri due nodi. Di conseguenza il nono ponte verrà costruito fra i due castelli. (disegno in alto a destra)

Il decimo ponte del Vescovo 
Adesso che la logica del metodo è stata completamentea compresa, almeno spero, e ricordando che affinché sia possibile ottenere un circuito euleriano (il vescovo vuole che ognuno possa rientrare a casa senza dover terminare il percorso all'osteria) tutti i nodi devono essere di grado pari, il ponte sarà costruito fra i due dispari (vescovado e osteria), rendendoli pari. (disegno in basso a sinistra) 

  

Nel disegno in alto destra viene rappresentata la situazione definitiva, graficamente ancor più chiara, nella quale sono riportati i ponti con il loro numero d'ordine di costruzione.

Testo di giovis, disegni tratti da Wikipedia

PS - Come anticipato nel primo post relativo ai 7 ponti di Königsberg, è mia intenzione proporvi in futuro altri problemi che possono essere facilmente risolti riducendoli a grafi. In particolare la teoria è utile per la pianificazione e ottimizzazione di itinerari, siano essi circolari o lineari.