lunedì 18 agosto 2014

Nastro, striscia o anello di Moebius

Si tratta di una meraviglia della topologia scoperta dal matematico e astronomo teorico August Ferdinand Möbius (o Moebius, 1790-1868) e pertanto legata al suo nome, anche se pare che nello stesso periodo, ma indipendentemente, anche da un altro matematico tedesco, Listing ne studiò le caratterstice.
Il Nastro di Moebius è un oggetto piano che ha però una sola faccia (superficie), come dire un comune foglio di carta che ha un solo lato, senza verso.
Sembra assurdo eppure è così. Provate voi stessi. Procuratevi una striscia di carta o di stoffa, meglio se con le due facce di colori diversi (per esempio una carta da regalo o semplicemente un foglio stampato solo da una lato) e qualcosa per fissarne le estremità: colla, nastro adesivo o spillatrice. Avvicinate le due estremità formando un cerchio ma, prima di unirle, torcetene una di 180°, vale a dire, nel caso di carta con colori diversi, fate combaciare un'estremità stampata con una bianca. La striscia di Moebius è pronta. 
Per avere una chiara dimostrazione della precedente affermazione ("ha una sola faccia") tracciate una linea parallela ai margini, a partire da un qualunque punto. Continuando a disegnarla vi accorgete che, completato un intero giro, passerete nello stesso punto da dove avete iniziato a tracciare la linea, ma dal lato (apparentemente) opposto. Proseguendo arriverete finalmente al punto di partenza (alla fine del secondo giro) e potrete notare che con questa sola linea continua (non avete mai staccato la penna dal foglio) avete percorso tutto il nastro da entrambe i lati che, in effetti, è solo uno.
Lo stesso vale per il bordo: anche se sembra che il nastro abbia due bordi, se iniziate a scorrere il dito lungo uno di essi, dopo un giro tornerete "quasi" al punto di partenza, in quanto vi troverete sul margine (apparentemente) opposto e solo dopo il secondo sarete effettivamente al punto di partenza. Tutto ciò senza aver mai staccato il dito dal margine e così è facilmente dimostrato in modo pratico che oltre ad avere una sola faccia, il Nastro di Moebius ha anche un solo bordo.
Ma le meraviglie non si limitano a questo. Provate a tagliare il Nastro longitudinalmente al centro. Vi renderete conto che non otterrete due anelli, ma uno solo di doppia lunghezza e con doppia torsione. Quindi questo Nastro (come tutti quelli con un numero pari di torsioni) non ha le stesse proprietà di quello di Moebius ha due facce e due bordi. Tagliandolo ancora a metà si otterranno due anelli concatenati, entrambe con torsione pari, quindi non Nastri di Moebius.
E non finisce qui … provate ora a tagliarne uno a circa un terzo della sua larghezza. Quando con le forbici ritornerete al punto nel quale avete iniziato (al termine del secondo giro) vi ritroverete con due nastri diversi concatenati. Uno di lunghezza doppia dell’originale che, come nel caso precedente del taglio a metà, presenta una doppia torsione e quindi non è un anello di Moebius, mentre l’altro (delle dimensioni originali) è ancora un nastro di Moebius essendo in effetti costituito dal terzo centrale di quello originale.
Un oggetto con tali caratteristiche e con forme così eleganti e flessuose non poteva non affascinare vari artisti ed è pertanto stato rappresentato in più occasioni sia in piano (tele, incisioni, …) che in tre dimensioni. L'opera più famosa è senz'altro quella di Maurits Cornelis Escher che nel 1963 produsse questo disegno “animandolo” con una teoria di formiche.
In rete ne ho trovato anche un altro paio molto interessanti, a soggetto ... automobilistico.
La prima è stata prodotta al computer, la seconda è tridimensionale.
Come è facile notare, in tutte queste opere il Nastro appare molto simile al simbolo matematico  (infinito) ma è solo un caso in quanto questo fu codificato nel 1600, molto prima che Moebius ne studiasse le caratteristiche dal punto di vista matematico.
Come simbolo è sempre stato associato al tempo e all'eternità e qualcuno vede la Striscia di Moebius in questo mosaico del III sec. d.C. rappresentante Aion, personificazione del Tempo, all'interno di una sfera celeste.   
Se questo mosaico vi piace e vi interessa, al seguente link potete scaricare l'immagine ad alta definizione  2120 × 1938 pixels (2.96 MB) della sua parte centrale  

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